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必要条件と十分条件を徹底的に教えてやる(センター対策)

この記事を書いた人
おっぐ

こんにちは。

みなさんセンターの勉強は捗ってますか?
これから2週間くらいはガチでひたすら紙の枠に色を塗っていく単純作業が繰り返されることと思いますが頑張ってください。

さて、巷には数学の「集合」あたりで習う「必要条件」と「十分条件」をきちんと区別できない人が数多くいます。日本語から直感的にわかる話だったりしますが、文系ほど分かってなかったりしますよね笑。
教科書では命題の「→」「←」を添えた説明がなされるもんですが、確かに初見だと分かりにくい感じも否めません。

そこで今回は、必要条件と十分条件について大雑把ながら丁寧に説明したいと思います。(厳密さが少々損なわれることがありますがご了承願います。)
センター数IAの対策にもなるね!やったぁ!

必要条件と十分条件

それぞれの言葉は次のようなことを表します。

必要条件と十分条件

Aは、Bであるための「〇〇条件」(Aは、Bの〇〇条件)とは、

必要条件:
Aが成り立たないと、Bは成り立たない。
言い換えれば、Bが成り立っているならば、Aは成り立っている。
十分条件:
Aが成り立っていれば、Bも成り立っている。
ただし、Bが成り立っているからといって、Aも成り立っているとは限らない。

これで理解できた賢いあなたはこれで終了ですwお疲れ様でしたw
この記事は、これでまだピンとこない方をターゲットにしているので、まだまだ続きます。
さて、上記の内容を詳しく説明していきましょう。

必要条件とは

(AはBの)必要条件は、「Aが成り立たないとBも成り立たない」という最低限の条件です。命題Aは、命題Bが成り立つために絶対に成り立たなければならない条件(つまり成り立つ必要がある条件)であるということです。

例を出します。

「入試の出願が完了する」こと(命題A)は、「入試の結果が合格である」(命題B)ための必要条件です。

当たり前な話ですが、受験生は入試の出願を済ませないと絶対に合格できません。合格するには、まず出願を完了させる必要がある訳ですね。

さて、これを逆に考えてみましょう。出願しないと試験に合格できないということは、言い換えると、入試に合格した場合は絶対に出願をしていたということになります。

必要条件は、「Aが成り立たないとBが成り立たない」ようなAのことをいうのですが、これは逆に言えば「Bが成り立っているなら、Aも成り立っている」ことになるのですね。

この話を論理式で表現することで「B→Aが真ならば、AはBの必要条件」という、よく見る公式が誕生するのですね。

必要条件とは

「Aは、Bであるための必要条件である」とは
言い換えれば、「Aが成り立たないとBが成り立たない」
言い換えれば、「Bが成り立っているならAも成り立っている」
言い換えれば、「『BならばA』(B→A)が成り立つ(真である)

十分条件とは

(AはBの)十分条件は、「Aが成り立っていたら、Bも絶対成り立つ」という話です。ここで注意して欲しいのは、Aは、Bが成り立つために求められる(必要な)条件じゃないということです。確かに、Aが成り立つとBも成り立ちます。しかし、例えAが成り立たなくても、Bが成り立つ場合があることを示唆しています。「十分条件」という言葉はそういった意味から来ているのですね。

例を出しましょう。

「入試の総合得点が満点である」(命題A)ことは、「入試が合格である」(命題B)ための十分条件です。

満点を取れば確かに絶対合格しますが、別に満点じゃなくても全然合格できます。入試満点は、合格するためには十分すぎますよね。皆さんは、入試合格のための十分条件ばかりを狙いにいく必要はありません(十分条件を1コでもクリアすればOK)。ただし、少なくとも必要条件は絶対に狙ってくださいね(じゃないと落ちます笑)!

数学の問題を解くためには、論理式に落とし込む必要がありますね。十分条件は「Aが成り立つならBも成り立つ」というシンプルな話ですので、「A→Bが真」で終わりです。

十分条件とは

「Aは、Bであるための十分条件である」とは
言い換えれば、「Aが成り立てばBも成り立つ」
言い換えれば、「『AならばB』(A→B)が成り立つ(真である)

必要十分条件とは

(AはBの)必要十分条件は、「必要条件」でも「十分条件」でもある状態を言います。
つまり、「Aが成り立たないとBは成り立たないが、Aが成り立てばBも成り立つ」状態、Aの成立とBの成立が連動している、そんなAのことを言います。

ところで、「必要条件」の例であげたものも、「十分条件」の例であげたものも、実は「必要十分条件」ではありません。
「入試の出願」をしないと入試に合格できませんが、入試に出願したところで必ずしも合格できません。
同じく、「入試で満点」取れば入試に合格できますが、満点を取れなかったからといって必ずしも合格できない訳ではありません。
必要十分条件は、AとBの成立が連動している、必ず両者の真偽が一致するので、上であげた2つは全て必要十分条件とは言えません。

さて、そんな中で必要十分条件の例をあげましょう。

「受験した入試の総合得点が合格最低点以上であること」(命題A)は、「入試の結果が合格である」(命題B)ための必要十分条件です。

当たり前な話ですが、受験生は合格最低点以上を取らないと絶対に合格できません。合格するには、合格最低点以上を取る必要がある訳ですね。
逆に、受験生は合格最低点以上を取れば、入試に合格できます。合格するには、合格最低点以上を取れば十分である訳ですね。
以上から、必要条件でも十分条件でもあることが判ったので「必要十分条件」と言えます。

必要十分条件とは

「Aは、Bであるための必要十分条件である」とは
言い換えれば、「AはBの必要条件でも十分条件でもある」
言い換えれば、「『BならばA』(B→A)も『AならばB』(A→B)も成り立つ(真である)
言い換えれば、「A⇄Bである(AとBは同値である)」
※必要十分条件ならばAとBを入れ替えても成立します!

例をどんどんあげてみる

必要条件や十分条件の説明はおしまいです。まだピンと来ていない方のために、例をどんどん出していきましょう。
ちなみに「〇〇は□□の必要(十分)条件」って言い回しは、理系同士の会話ならば日常会話でも頻繁に出ます(少なくとも私の周りでは…笑)。日常に使えるレベルまで必要(十分)条件を身につけている人がそれだけ多いということですね。

例:「A君が京大の入試に合格していること」は、「A君は京大生である」ための必要条件。だが十分条件でない。

京大には入試が必ずあります。裏口入学は(多分)ありません笑。
京大に在籍している人は、必ず入試を受験して合格しています。もちろん、A君が京大生ならば、京大入試の合格を手にしていますので、「←」は成り立ちます。(必要条件である)
一方、京大に合格した人は必ずしも京大生であるとは言えません。
私の高校の先輩に、京大の看護学科に合格しておきながら、京大を蹴って慶應大に進学した意味わからん人がいました。彼女は、京大の入試に合格していますが、京大生ではなく慶大生な訳です。こんな場合があるのですから、「→」は必ずしも成立せず、よって十分条件と言えなくなります。

例:「A君が20歳以上であること」は、「A君が選挙権の年齢を満たす」ための十分条件。だが必要条件でない。

2017年現在、日本では18歳以上の人に対して選挙権が与えられます。(服役云々とかその辺のややこしい要件はここでは考えません)
つまり、「20歳以上である」ならば「選挙権の年齢を満た」します。よって「→」が成り立つので十分条件を満たします。
一方で、18歳や19歳の人も選挙権の年齢を満たします。つまり、「選挙権の年齢を満たす」とき、必ずしも「20歳以上である」とは限らないのですね。よって、「←」は成立しないので、必要条件とは言えません。

例:「今日が1月1日であること」は、「今日が元日である」ための必要十分条件。

国民の祝日に関する法律(昭和二十三年法律第百七十八号)では、元日として1月1日を定めています。よって、今日が1月1日ならば今日は元日でもあるので、「→」が成り立ちます(十分条件)。
一方で、法律では元日として1月1日以外の日を定めておりません。よって、「今日が元日」と言われれば1月1日のみに絞れます。よって「←」も成り立ちます(必要条件)。
よって、十分条件も必要条件も満たすので「必要十分条件」です。

例:「x^2=1」は、「x=1」であるための必要条件。だが十分条件でない。(センター数学IA-2017)

x=1ならばx^2=1^2=1なので、「←」が成立して必要条件と言えます。
しかし、x=-1でもx^2=1が成り立つという反例から、「→」は成り立ちません。よって十分条件ではありません。

例:「xが無理数であること」は、「x√28が有理数である」ための必要条件でも十分条件でもない。(センター数学IA-2016)

xが無理数の時、x√28が有理数になるかどうかですが、x=√2(無理数)の時、x√28=2√14で明らかに無理数です。よって「→」は成り立ちません。(十分条件でない)
次に、x√28が有理数の時にxが無理数かどうかですが、x=0の時にx√28は0であり有理数になりますが、xは無理数ではありません。よって「←」も成り立ちません。(必要条件でない)

おわりに

今回は、必要条件と十分条件について例を出しながらなるべく分かりやすい説明を心がけました。
皆さんも、身の回りに潜む「必要(十分)条件」を探しながら論証力を鍛えてみてください!!

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